The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0, X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0, X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Types:
and :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
true :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
activate :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
false :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
if :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
0' :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
nil :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
cons :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
hole_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from1_0 :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0 :: Nat → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
activate, from

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = from

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Types:
and :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
true :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
activate :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
false :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
if :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
0' :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
nil :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
cons :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
hole_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from1_0 :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0 :: Nat → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from

Generator Equations:
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(x, 1)) ⇔ n__add(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(x), true)

The following defined symbols remain to be analysed:
from, activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = from

(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol from.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Types:
and :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
true :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
activate :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
false :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
if :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
0' :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
nil :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
cons :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
hole_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from1_0 :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0 :: Nat → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from

Generator Equations:
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(x, 1)) ⇔ n__add(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(x), true)

The following defined symbols remain to be analysed:
activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = from

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2094₀)

Induction Base:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, +(n2094_0, 1)))) →_R^Ω(1)
add(activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))), true) →_IH
add(*3_0, true)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Types:
and :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
true :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
activate :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
false :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
if :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
0' :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
nil :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
cons :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
hole_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from1_0 :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0 :: Nat → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from

Lemmas:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2094₀)

Generator Equations:
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(x, 1)) ⇔ n__add(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(x), true)

The following defined symbols remain to be analysed:
from

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate = from

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol from.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Types:
and :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
true :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
activate :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
false :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
if :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
0' :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
nil :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
cons :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
hole_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from1_0 :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0 :: Nat → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from

Lemmas:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2094₀)

Generator Equations:
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(x, 1)) ⇔ n__add(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(x), true)

No more defined symbols left to analyse.

(14) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2094₀)

(15) BOUNDS(n^1, INF)

(16) Obligation:

TRS:
Rules:
and(true, X) → activate(X)
and(false, Y) → false
if(true, X, Y) → activate(X)
if(false, X, Y) → activate(Y)
add(0', X) → activate(X)
add(s(X), Y) → s(n__add(activate(X), activate(Y)))
first(0', X) → nil
first(s(X), cons(Y, Z)) → cons(activate(Y), n__first(activate(X), activate(Z)))
from(X) → cons(activate(X), n__from(n__s(activate(X))))
add(X1, X2) → n__add(X1, X2)
first(X1, X2) → n__first(X1, X2)
from(X) → n__from(X)
s(X) → n__s(X)
activate(n__add(X1, X2)) → add(activate(X1), X2)
activate(n__first(X1, X2)) → first(activate(X1), activate(X2))
activate(n__from(X)) → from(X)
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(X) → X

Types:
and :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
true :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
activate :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
false :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
if :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
0' :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__add :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
nil :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
cons :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__first :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__from :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
n__s :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
hole_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from1_0 :: true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0 :: Nat → true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from

Lemmas:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2094₀)

Generator Equations:
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(0) ⇔ true
gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(x, 1)) ⇔ n__add(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(x), true)

No more defined symbols left to analyse.

(17) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_true:false:0':n__add:nil:cons:n__first:n__s:n__from2_0(+(1, n2094_0))) → *3_0, rt ∈ Ω(n2094₀)

(18) BOUNDS(n^1, INF)